八角形 - 定義、形状、型と例 (2023)

複雑なダンスの中で、幾何学的なフォーム、オクタゴン静かに著名な地位を占めている。 8 つの辺を持つ図形は、三角形ほど単純でも、正方形ほど従来的でもありません。それでいて、シンプルさとシームレスに融合しています。複雑を作成して、平衡それは数学者、建築家、芸術家を同様に魅了してきました。歴史を通じて、オクタゴンは象徴されてきました。調和とバランス、8世紀のウマイヤ朝建築の驚異から現代の総合格闘技ケージまでの建物に現れています。

この記事では、魅惑的な世界への旅に乗り出します。八角形、それらの数学的原理、それらの歴史的重要性、そして私たちの日常生活におけるそれらの役割。一文ごとに、この謎めいた人物の別の側面を解き明かし、この人物の多面性を深く掘り下げていきます。八面の不思議。シートベルトを締めて、自分の世界を視点から見る準備をしましょう八角透視図。

意味

あポリゴン8 つの辺と 8 つの角を持つものは、幾何学では八角形と呼ばれます。この用語の由来は、ギリシャ語言葉 "八角形の上に、" と "オクターブ" 意味八と「ゴニア」意味角度。

八角形にはさまざまな種類がありますが、最も一般的なのはすべての辺と角度が等しい正八角形です。正八角形では、各内角は次のようになります。135度、すべての内角の合計は次のようになります。1080度。

八角形で広く使用されています建築、デザイン、 とシンボルその美的魅力と幾何学的な特性によるものです。日常的な例としては、一時停止標識、正八角形の形をしています。以下は、8 つの辺を持つ八角形の一般的な図です。

図-1: 一般的な八角形。

歴史的意義

のオクタゴンは、古代にまで遡り、世界中のさまざまな社会において重要な歴史的および文化的重みを持っています。オクタゴンの歴史的重要性を示すいくつかの重要な事例を掘り下げてみましょう。

古代建築

多くの古代文明は、円形と直線を融合させたそのユニークな幾何学的特性により、八角形を建築デザインに取り入れました。の八角形の塔のアテネの風紀元前2世紀に建てられました。世界初の気象観測所とされるこの建造物には、次のような装飾が施されていました。日時計、水時計、そして風向計。

キリスト教建築における洗礼堂

のキリスト教の象徴主義、数字の 8 は多くの場合、次のことを意味します。再生と復活、8日目（日曜日）に復活を祝う伝統に由来しています。その結果、多くの人は早期にキリスト教徒とビザンチン洗礼堂八角形で造られていました。特に、ラテラノ洗礼堂ローマでは最も古いものの一つで、キリスト教世界、この伝統に従っています。

イスラム建築

のオクタゴンその幾何学的かつ象徴的な重要性により、イスラム建築において重要な役割を果たしています。八角形は、多くの場合、正方形のベースと円形のドームの間の移行形状として機能することがよくあります。モスクとイスラム建築。顕著な例は、石のエルサレム、紀元 7 世紀に遡る八角形の建物で、正方形の基礎から正方形の基礎への建築の変遷を示しています。円形ドーム。

中国の文化

の中国語文化において、オクタゴンは重要な意味を持っています。風水と易経。の八卦八角形の図は、風水では、建物や部屋のレイアウトが生活のさまざまな側面にどのような影響を与えるかを理解するためのツールとして使用されます。 8 つの側面のそれぞれは、次のような異なる人生の側面に対応しています。富、家族、 またキャリア。

ビクトリア朝の建築

の提唱により、骨相学者オーソン・スクワイア・ファウラー八角形の家はより多くの日光を与え、冷暖房しやすいと感じた人々は、八角形の家がアメリカで一時的に人気を集めました。19世紀。八角形の流行は長くは続かなかったものの、今日でも見ることができるユニークな八角形住宅の例がいくつか生まれました。

オクタゴンの幾何学模様

アン八角形最も一般的な意味では、8 つの辺 (または辺) と 8 つの辺を持つ多角形です。頂点 (またはコーナー)。この用語はあらゆるものを指しますが、八角形なんの資格も持たずに、「八角形」通常、正八角形、つまり辺の長さが同じで内角が等しいものを指します。

で正八角形、各辺は同じ長さであり、すべての内角は次と等しい。135度。これを視覚化するには、正方形を考えて、同じサイズの別の正方形を回転させて描きます。45度中心点のあたり。作成した重なり合う形状は正八角形です。この形は等辺(すべての辺の長さが等しい) かつ等角 (すべての内角が等しい)。

どれでも八角形の内角合計して1080度常に、次の式で計算されます。(n-2)×180、 どこnは辺の数です。8八角形の場合。この公式は、八角形だけでなく、あらゆる多角形にも当てはまります。
正八角形は 8 つの合同な二等辺三角形に分割できます。これらの三角形の頂角は次のとおりです。135度と 2 つの底角、それぞれ22.5度。また、正八角形は1つの正方形と8つの直角三角形に分割することができ、さまざまな可能性を提供します。幾何学的な問題解決。

のオクタゴンの分野でも重要な役割を果たしていますテッセレーションこれは、密に配置されたフォーム、特に隙間や重なりのない繰り返しパターンのポリゴンのグループとして定義されます。通常の八角形はそれ自体ではテッセレーションされていませんが、正方形や他の形状と組み合わせるとテッセレーションを形成できます。

八角形タイプ

アン八角形は定義上、8 つの辺を持つ多角形です。ただし、八角形の形状や特性は、辺の長さや長さによって大きく異なります。大きさ彼らの角度の。ここでは、一般的な八角形のタイプをいくつか紹介します。

正八角形

これが一番シンメトリカのタイプオクタゴン、すべての辺とすべての角度が等しい。正八角形の各内角の大きさ135度、どの辺も同じ長さです。以下は、8 つの辺を持つ正八角形の一般的な図です。

図-2: 正八角形。

不規則な八角形

これは八角形すべての辺と角度が等しいわけではありません。アン不規則な八角形まだ凹面である可能性があります、または凸型、ただし、正八角形と同じレベルの対称性はありません。以下は、8 つの辺を持つ不規則な八角形の一般的な図です。

図-3: 不規則な八角形。

凹型八角形

あ凹八角形を超える角度が少なくとも 1 つあります180度、形状を与える「陥没した」外観。これは、すべての角度が より小さい凸八角形とは対照的です。180度。以下は、8 つの辺を持つ凹型八角形の一般的な図です。

図-4: 凹型八角形。

凸八角形

あ凸八角形すべての内角は次の値より小さい180度。したがって、境界に沿った 2 点を結ぶ線分は多角形から離れることはありません。正八角形と不規則八角形の両方を凸にすることができます。以下は、8 つの辺を持つ凸八角形の一般的な図です。

図-5: 凸八角形。

関連パラメータ

の幾何学数学、八角形、特に正八角形に関連する公式がいくつかあります。以下は、特に注目すべきもののリストです。

正八角形の外周

次の式を使用して正規の値を取得できます。八角形の外周(P)辺の長さが等しい。

P = 8×s

ここで、s は 1 辺の長さです。

正八角形の面積

のエリア (A)正八角形の は次の公式を使用して計算できます。

$$A = 2 \times^2 (1+\sqrt{2})$$

どこs一辺の長さです。

八角形の内角

多角形の内角の合計の公式は次のとおりです。

合計 = (n-2)×180°

どこnは八角形の辺の数です。nは8、したがって、内角の和は次のようになります。1080°。正八角形の場合、それぞれの角度は次のようになります。135°。

正八角形の外角

どれでも多角形の外角合計して360°。正八角形の場合、個々の外角は次のようになります。360°/8 = 45°。

八角形の対角線

の数対角線(D)八角形の場合は、次の式を使用して計算できます。

D = n×(n-3)/2

どこn辺の数です。八角形の場合、nは8, したがって、対角線の数は次のようになります。20。

正八角形のアポセム

の崇拝者 (a)正八角形の辺の長さ（中心から辺に垂直な辺までの距離）は辺の長さから計算できます。(s)公式を使用する。

a = s/(2×タン(π/8))

オクタゴンのアプリケーション

そうです、八角形現実世界のさまざまなアプリケーションで使用されていますが、その多くは一見しただけではわからない場合があります。オクタゴンは特に注目に値します交通規制、スポーツ、建築、 とデザインそれは、その容易に認識できる形状と、バランスと対称性の特性によるものです。さらに詳しく見てみましょう。

交通規制

おそらく八角形の最も一般的な使用法日常生活の中でそれは一時停止標識。多くの国では、交通停止標識は正八角形。交通規制におけるこの 8 面の図の目的は、主に心理的および実際的なものです。ユニークな形状は簡単に認識でき、他の道路標識の中でも目立つため、ドライバーは遠く離れた場所や視界が悪い状況でもすぐにそれを認識できます。この迅速な認識は、安全性と安全性を確保する上で非常に重要です。スムーズな交通の流れ。

スポーツ

のスポーツで総合格闘技(MMA)、コンテストは多くの場合、として知られる 8 面のケージで開催されます。「オクタゴン」このデザインの選択は、単に美しさだけを考慮したものではありません。それは実用的な目的を果たします。オクタゴンは従来のオクタゴンよりも広いスペースを提供します。ボクシングのリング、許可しますスポーツ選手に操縦もっと自由に。その形状は、競合他社が閉じ込められる可能性のあるコーナーがないことも意味します。さらに、八角形のデザインにより、観客や関係者の視線が良くなり、公平で楽しい観戦が保証されます。

建築

のオクタゴンで頻繁に見つかります建築、建物の構造設計と装飾要素の両方において。この形状は、正方形または長方形の強度と安定性と円の美的魅力を兼ね備えているため、よく使用されます。たとえば、八角形の間取りは、次のような注目度の高い建物で使用されています。ナポリの王宮またはピサの斜塔。さらに、八角形はガゼボのようなそれほど大きくない構造物の設計にもよく使用され、心地よい対称的な形状と周囲の広い眺めを提供します。

インテリア・デザイン

八角形形状はよく使われますタイル、カーペット、その他インテリア デザインの要素。八角形のタイルを使用すると、正方形や長方形のタイルではできない興味深い複雑なパターンを作成できます。八角形鏡または壁の装飾も、通常のものとは異なる独特の代替品を提供することもできます。長方形また円形オプション。

都市計画

都市計画においては、八角形の建物そして構造は効率的で見た目にも美しいレイアウトを作成できます。たとえば、オクタゴンニューヨークのルーズベルト島にあるこの建物は、元々は病院。そのユニークな形状により、最大限の光と空気の循環が可能になりました。今日、それはに変換されました住宅用建物, しかし、その八角形のデザインは今でも特徴的な特徴です。

象徴主義と精神的実践

さまざまな文化や精神的な実践において、オクタゴン重要な象徴的な意味を持っています。キリスト教では、八角形はしばしば再生、再生、 と遷移地上から天上へ。初期のキリスト教会の多くの洗礼体は、この理由から八角形でした。中国文化では、八卦、八角形の図が使用されます。風水空間内のエネルギーの流れとバランスを評価します。

コーディングとコンピューター

のコンピューターグラフィックス、八角形8 角形の方がプログラムで生成および操作しやすいため、形状は円の近似として使用されることがあります。という文脈でデジタル画像、オクタゴンは、特定のアルゴリズムの基礎として使用できます。ぼやけるまたはのための検出する画像内のエッジと形状。

テーブルゲーム

八角形さまざまなボードゲームやテーブルゲームにも登場します。たとえば、カタンの入植者ゲーム、六角形のタイルが八角形で囲まれています「港」。八角形のゲーム テーブルは、ポーカーやその他のカード ゲームでも人気があり、公平な多くのプレーヤーのための座席位置。

エクササイズ

例1

正八角形の一辺の長さを5cm、何ですか？周囲?

解決

周囲(P)正八角形の は次の式で与えられます。P = 8×s、 どこs辺の長さです。

P = 8×5 = 40cm。

したがって、八角形の周囲は次のようになります。40cm。

例 2

とは何ですかエリア図-6に示す八角形の?

図-6。

解決

面積の計算式(A)正八角形は$A = 2 \times^2 (1+\sqrt{2})$、 どこs辺の長さです。

$$A = 2 \times 3^2 (1+\sqrt{2})$$

$$A = 2 \times 9 (1+\sqrt{2})$$

$$A = 18(1+\sqrt{2})$$

$$A = 18+18\sqrt{2}$$

したがって、八角形の面積は、$A = 18(1+\sqrt{2})$平方センチメートル。

例 3

幾つかインテリア 角度標準的な八角形にはどのようなものがありますか?その寸法はどれくらいですか?

解決

八角形の内角を合計すると、1080度。正八角形は角度が等しいので、それぞれの角度は次のようになります。1080° / 8 = 135°。

したがって、正八角形の各内角は次のようになります。135°。

例 4

幾つか外側（外）角通常の八角形の中に存在しますか?そしてその寸法はどれくらいですか?

解決

解決策: 多角形の外角の合計は次のようになります。360°。正八角形の場合、個々の外角は次のようになります。360° / 8 = 45°。

したがって、正八角形の各外角は次のようになります。45°。

例5

幾つか対角線八角形はありますか？

解決

対角線の数(D)多角形内の は次の式で与えられます。D = n(n-3)/2、 どこn辺の数です。八角形の場合、nは8。

D = 8×(8 – 3)/2

D = 8×5/2

D = 20

したがって、八角形は対角線20本。

例6

正八角形のアポセム: 正八角形の辺の長さが4cm、何ですか？長さ の 崇拝者?

解決

アポセムの公式(a)正八角形の場合は;

a = s/(2×タン(π/8))、

どこs辺の長さです。の値を入れることで、s、 我々が得る

a = 4/(2×タン(π/8))

a = 4/(2×0.414)

a = 4.83cm (約)

したがって、オクタゴンの公称はおよそ次のとおりです。4.83cm。

例 7

もしエリア正八角形は48平方センチメートル、何ですか？長さ 片側の?

解決

八角形の面積の公式を使用する$A = 2 \times^2 (1+\sqrt{2})$を解決しますs。

$$48 = 2 \times^2 (1+\sqrt{2})$$

両辺を 2(1 + √2) で割ると、次のようになります。

$$s^2 = \frac{48}{2 \times (1+\sqrt{2})}$$

両辺の平方根を取ると次のようになります。

$$s = \sqrt{\frac{48}{2 \times (1+\sqrt{2})}}$$

S = 2.41cm (約)

したがって、八角形の辺の長さは約2.41cm。

例8

側面なら長さ正八角形は2cm、とは何ですか？半径（外接円の半径）？

解決

外周半径の公式RはR = s/(2×sin(π/n))、 どこnは辺の数であり、s辺の長さです。

R = 2 / (2×sin(π/8))

R = 2 / (2×0.383)

R = 2.61cm (約)

したがって、八角形の外周半径はおよそ2.61cm。

すべての画像は GeoGebra で作成されました。